[Modern Robotics] Rigid body의 표현 - 회전 행렬(Roataion Matrix)
Rigid body의 표현 - 회전 행렬
앞서서 회전 행렬 R의 9개 항목중 실제로는 3개만 독립적으로 선택이 가능하다
제약조건
- 단위 벡터 조건 (unit norm condition) - 3개
- 직교성 조건 (orthogonality condition) - 3개
이 6개의 제약조건은 하나의 행렬조건으로 표현 가능하다.
추가조건
추가적으로 해당좌표계가 오른손 좌표계기준인지 왼손좌표계 기준인지 구별하기 위해 determinant 조건을 추가한다.
수학적 의미설명
| 항목 | 수학적 의미 | 설명 |
| 단위 벡터 조건 | $\|r_i\| = 1$ | 각 열 벡터가 단위 벡터 |
| 직교성 조건 | $ r_i^T r_j = 0 (i ≠ j) $ | 서로 직교 |
| 직교 행렬 조건 | $ R^T R = I $ | 위 두 조건을 포함 |
| 오른손 조건 | $ \det R = 1 $ | $ \hat{x}_b \times \hat{y}_b = \hat{z}_b $ |
회전행렬 Lie group 표현
회전 행렬의 집합인 SO(2)와 SO(3)는 수학적으로 group이라고 불린다.
Group조건
- 폐쇄성(Closure): A,B가 그룹에 속할 때, AB 또한 그룹에 속한다.
- 결합법칙(Associativity): (AB)C=A(BC) 가 항상 성립한다.
- 항등원 존재(Identity): AI=IA=A를 만족하는 항등원 $I$가 존재한다. (SO(n)에서는 단위 행렬)
- 역원 존재(Inverse): $AA^{-1}=A^{-1}A=I$ 를 만족하는 역원 $A^{-1}$이 존재한다.
회전행렬의 용도
- 어떤 방향을 표현하기 위해
- 기준좌표계를 바꾸기 위해
- 벡터나 프레임을 회전하기 위해
방향 표현
- $R_c$를 쓸 때, 프레임 ${c}$의 방향이 고정 프레임 ${s}$에 대해 어떤지를 나타내고 있는 것
→ $R_{sc}$로 쓸수도 있다.
기준 좌표계 변경
$R_{ac} = R_{ab} R_{bc}$
회전행렬 $R_{ab}$에 $R_{bc}$를 곱해서 $R_{ac}$라는 새로운 기준 좌표계를 만들 수 있다.
항목 의미
| $R_{ac} = R_{ca}^{-1} = R_{ca}^T$ | 서로의 전치 행렬 |
| $R_{ac} = R_{ab} R_{bc}$ | 좌표계 기준 변경 |
| 소거 규칙 | $R_{ab} R_{bc} = R_{ac}$, $R_{ab} p_b = p_a$ |
벡터나 프레임 회전
$R=Rot( \hat\omega ,\theta)$
단위 행렬(기준 방향)에서 시작하여 $\hat{\omega}$축을 중심으로 $\theta$만큼 회전한 결과가 $R$이라는 뜻이다.
이를 사용하여 벡터나 프레임을 회전시킬 수 있다.
기준 프레임에 따른 회전의 차이
고정프레임에서 바라본 바디프레임 : $R_{sb}$
- 고정 프레임 기준 회전 : $R_{sb′}=R⋅R_{sb}$
- 바디 프레임 기준 회전 : $R_{sb^{′′}}=R_{sb}⋅R$
회전 행렬을 왼쪽에다 곱하면 고정프레임 기준으로 회전 한것이다.
회전 행렬을 오른쪽에다가 곱하면 바디프레임 기준으로 회전한것이다.
이는 전혀 다른 두 결과를 보인다.
따라서 벡터를 회전시키기 위해서는 이미 벡터가 표현되어 있는 좌표계안에서 연산이 이루어진다는 것을 의미하여, v’=Rv로 표현된다.