[Modern Robotics] Rigid Body Motion(강체의 위치와 방향)

배경

Modern Robotics에서 Rigid Body는 강체의 위치와 방향을 표현하는 방식을 다루는 장이다.

Rigid body를 표현하기 위해, 44행렬을 사용한다. 그러나 C-space에서의 Rigid body의 configure는 6자유도가 있기에, 44행렬 즉, 16개의 변수로 표현하기 위해, 10개의 제약조건을 부과하여 정의할수 있다.

Rigid body의 twist는 (\mathbb{R}^6)벡터로 표현이 가능한데, angular velocity와 linear velocity로 구성되며 이를 spatial velocity라고한다.

로봇의 C-space의 어떤 지점에서든 속도는 항상 vector space을 이루며, C-space를 구면 $S^2$로 가정하면 속도공간은 해당 점에서의 tangent plane이라고 생각할 수 있으며, 이는 vector space이다.

이를 다시 속도 기준으로 생각해보면 구위의 고정된 공간에서 시작된 frame을 적분하여 바라볼수 있는데, 이는 하나의 고정된 축을 따라서 회전하고 이동하는 screw 운동과 유사하다.

Rigid body의 정의

이제 다음과 같이 벡터와 행렬을 정의하자

Rigid body의 정의 이제 다음과 같이 벡터와 행렬을 정의하자

\[\mathbf{p} = \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{bmatrix}, \quad R = [ \hat{x}_b \;\; \hat{y}_b \;\; \hat{z}_b ] = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix}\]

이처럼 $(R, \mathbf{p})$라는 총 12개의 파라미터로 강체의 위치와 방향을 완전히 표현할 수 있다.

이처럼 $(R, \mathbf{p})$라는 총 12개의 파라미터로 강체의 위치와 방향을 완전히 표현할 수 있다.

단, 회전은 자유도가 3개이므로, $R$의 9개 성분 중 3개만 독립적으로 선택 가능하다.

##

다음 장부터는 Rotation Matrix에 대한 자세한 설명을 시작하겠다.