[Modern Robotics] Rotation Matrix와 Angular Velocity의 관계

Rotation Matrix와 Angular Velocity의 관계

위 그림을 참고하여, 어떤 회전하는 물체에 단위축 ${ \hat{x}, \hat{y}, \hat{z} }$으로 구성된 좌표계가 있다고 하자.

각 단위축들을 시간에 따른 변화율을 구해보면 어떤 기준축 $\hat\omega$에 대하여 $\theta$의 변화율로 표현이 가능하다.

이를 다시 표현해보면 다음과 같다.

\[\mathbf{w} = \hat{w} \cdot \dot{\theta}\]

이제 위 $\mathbf{w}$를 Roataion Matrix 형태로 표현하기 위해 우리는 좌표계 기준을 선택해야한다.

1. 고정프레임 기준
2. 바디 프레임 기준

고정 프레임 기준

먼저 고정프레임 ${s}$ 기준으로 생각해보면 회전행렬을 $R(t)$, 도함수를 $\dot{R}(t)$라고 해보면,

회전행렬의 열벡터($\dot{r}_i$)와 각속도를 고정프레임기준으로 표현한 벡터($\boldsymbol{\omega}_s \in \mathbb{R}^3$)로 쓸수 있다.

\[\dot{r}_i = \boldsymbol{\omega}_s \times r_i, \quad i = 1, 2, 3\]

이 세식을 하나의 행렬식으로 합치면

\[\dot{R} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\omega}_s \times r_1 & \boldsymbol{\omega}_s \times r_2 & \boldsymbol{\omega}_s \times r_3 \end{bmatrix} = \boldsymbol{\omega}_s \times R\]

skw-symmetric matrix로 표현하면 다음과 같다.

\[\dot{R}=\boldsymbol{\omega}_s \times R = [\boldsymbol{\omega}_s] R\]

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참고)skw-symmetric matrix

\[[\boldsymbol{\omega}s] = \begin{bmatrix} 0 & -\omega{s,3} & \omega_{s,2} \\ \omega_{s,3} & 0 & -\omega_{s,1} \\ -\omega_{s,2} & \omega_{s,1} & 0 \end{bmatrix}\]

• 성질 1 : $[x]=[x]^T$
• 성질 2 : $R[\omega]R^T = [R\omega]$

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앞서 얻었던 $[\omega_s] R = \dot{R}$ → $[\omega_s] = \dot{R} R^{-1}$로 표현이 가능하다.

이제 body 프레임 기준으로 재표현하면, $\omega_s = R_{sb} \omega_b \quad \Rightarrow \quad \omega_b = R_{sb}^{-1} \omega_s = R^T \omega_s$로 표현이 가능하며,이를 skew-symmetric matrix형태로 재표현하면

\[[\omega_b] = [R^T \omega_s] = R^T [\omega_s] R \quad \\ = R^T \dot{R} \quad \\ = R^{-1} \dot{R}\]

로 표현이 가능하다.

정리