Bernoulli Distribution :

01) Discrete RVs

01_Summary of Discrete Random Variables

Bernoulli distribution : success혹은 occurrence를 확률 변수 (RV)로 두고 Independent 하게 iterative trials 한것
Binomail distribution (몇번시도 했는가?)
Geometric distribution (1번째 success가 나올때까지)
Poisson distribution (Time 간격 안에)
02_Bernoulli Distribution

☾ Binary RV of success (or ocuraence)
Success (or occurrence) → 1 (positive)
Failure (or no occurrence) → 0 (negative) $p(success)=p$, $p(failure)=1-p$ $mean=p$, $variance=p-p^2$
☾ Independent of successive trials
시도가 전부 독립적으로 이어진다.
☾ Example
When tossing a coin, $P(Head)$ = $\frac{1}{2}$ → 다시 던지더라도 독립적인 관계임
When tossing a dice $P(occuring\ 6)=\frac{1}{6}$ → 다시 던지더라도 독립적인 관계
Accuray rate of pattern recognition system (car number, face ID, …)
각각의 사람들의 얼굴 인식 확률(경험적으로 얻은것을 바탕으로)
All kinds of random phenomena with two opposite aspects → but independent해야함
☾ Basic unit trial for various discrete RVs
of successes( or occurences) from independent iterative trials
다른 확률 분포의 기초가 되는 distributions이다. ↔Binomailm Geometric, Poisson distribution
03_Binomial Distribution

☾ X: # of successes (or occurrences) from total n Bernoulli trials
X: {0, 1, 2, 3, …, n}
parameter : $P(success)$ = $p$, total tirals $n$m
→$B(n,p)$ $P(X=k)= {n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}$

\[mean=np,\ variance=np(1-p)\]

$P(X=k)= {10 \choose k}\left(\frac{1}{6}\right)^k\left(\frac{5}{6}\right)^{10-k}$

$P(correct)=0.95$ $P(X=k)= {100 \choose k}0.95^k(0.05)^{100-k}$
☾ For $n\rightarrow \infty$, Binomial distribution is converged to Gaussian (Normal) distribution.
n이 커지면 Binomail distribtion은 Gaussian Normal distribution
04_Geometric Distributions

☾ 정의 X : Bernoulli trial을 성공이 나올때 까지 반복했을때의 수
$X:{1,2,3,\ldots,n,\ldots}$
parameter : P(success)=$p$
$P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$
1번 성공할때까지 1-p의 의 확률 계속 반복한다.
$mean=\frac{1}{p}$, $variance=\frac{1-p}{p^2}$
☾ Ex1 : 네트워크 서버 접속을 위한 시행
N번하면 99%확률로 접속을 할수 있었으면 좋겠다. $P(X\le N)=\sum^N_{k=1}p(1-p)^{k-1}>0.99$
☾ Ex2 : 네트워크 패킷이 성공적으로 받았다고 할때

05_Geometric Distributions

☾ 정의 X : 주어진 시간 내에 Bernoulli trial이 성공이 발생한 횟수
$X:{1,2,3,\ldots,n,\ldots}$
시간 사이에는 전부 독립
parameter : $\lambda>0$(mean)
$P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$
$mean=\lambda$, $variance=\lambda$
$P(x\geq1)=1-P(0)=1-e^{-\lambda}$ → 1회 이상 발생확률