Conditional Mean and Variance를 구하는 방식은 discrete와 coutinous에 따라 방식이 나누어진다. discrete한 경우에 Conditional Mean and variance를 구하는 것은 쉽게 나타난다. countinous한 경우에는 $f(x

A)$를 구하는 것의 어려움이 존재한다. 이때, CDF와 PDF를 사용해 $f(x

A)$를 표현할수 있다.

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01) Conditional Mean and Variance

01_Conditional Mean

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☾ 조건부 평균 E[X|A]

• 표본 공간의 조건에 대한 확률변수의 평균
• 조건 A : 확률 변수 X의 축소 또는 제한된 범위를 나타내는 집합

  ☾ 예시

• Tossing a dice : {1,2,3,4,5,6}, $P(X=k)$=1/6, k=1,2,3,4,5,6
• $E[X]$=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5
• $A=${$X>3$}, $E[X|A]$={4,5,6의 평균} = (4+5+6)/3=5

  ☾ We have to find the conditional probability (discrete RV) or conditional density (continous RV) for $E[X|A]$.

  02_Conditional Mean & Variance

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  ☾ A : Condition of X

• Mean \(discrete\ RV: E[X|A]= \sum_{x_k\in A}x_kP(x_k|A)\rightarrow P(x_k|A)=\frac{P(x_k \cap A)}{P(A)}=\frac{P(x_k)}{P(A)}\)

헷갈리면 주사위를 생각해보자. $P(x_k

A)$를 구할때!

\(countinous\ RV : E[X|A]= \int_{x\in A}xf(x|A)dx \rightarrow f(x|A)=\frac{f(x\cap A)}{f(A)}??\)

• Variance $Var[X|A]=E[X^2|A]-E[X|A]^2$ →conditional density function should be found w.r.t the condition A.

  03_Conditional Density and Mean

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  ☾ For a countinous RV X, $A=$ {$X\le a$}

우리가 구하고 싶은 것 : $E[X|A]= \int_{x\in A}xf(x|A)dx$

• 조건부 PDF를 구하기 위해서 조건부 CDF를 정의한뒤 미분한다.

\(f(x|A)=\frac{dF(x|A)}{dx}=\frac{d}{dx}P(X\le x|X\le a)=\frac{d}{dx}\frac{P(X\le x\cap X\le a)}{P(X\le a)}=\begin{cases} 1) \frac{d}{dx}\frac{P(X\le x)}{F(a)}=\frac{f(x)}{F(a)},\ \ for \ x\le a \\ 2) \frac{d}{dx}\frac{P(X\le a)}{P(X\le a)}=0, \ \ \ \ \ \ for\ x>a \end{cases}\) \(conclusion :E[X|A]= \int_{x\in A}xf(x|A)dx= \int_{x\le a}x\frac{f(x)}{F(a)}dx=\int_{x\le a}x\frac{f(x)}{P(A)}dx\)

☾ Example 1 : $A=$ {$X \le1$}

• grpah
• $a=1$

• $E[X

  A]= \int_{x\in A}xf(x

  A)dx= \int_{x\le a}x\frac{f(x)}{F(a)}dx=\int_{x\le a}x\frac{f(x)}{P(A)}dx$

• $F(1)=\frac{1}{2}$, $f(x)=x(x\le1)$ → $E[X

  A]=\int^1_02x^2dx= \frac{2}{3}$

• $Var[X|A]=E[X^2|A]-X[X|A]^2=\int^1_02x^3dx-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{18}$

  ☾ Example 2 : $A=$ {$a < X \le b$}

• graph

• $E[X

  A]= \int_{x\in A}xf(x

  A)dx= \int_{x\le a}x\frac{f(x)}{F(a)}dx=\int_{x\le a}x\frac{f(x)}{P(A)}dx$

• $f(x|A)=\frac{dF(x|A)}{dx}=\frac{d}{dx}P(X\le x | a<X\le b) = \frac{d}{dx}\frac{P(X\le x \ \cap\ a<X\le b)}{P(a<X\le b)}$ 1) $=\frac{d}{dx}\frac{P(a<X\le b)}{P(a<X\le b)}=0,\ \ \ x>b$ 2) $=\frac{d}{dx}\frac{P(a<X\le x)}{P(a<X\le b)} = \frac{d}{dx}\frac{F(x)-F(a)}{P(a<X\le b)}=\frac{f(x)}{P(a<X\le b)}, \ \ \ \ a<x\le b$ 3) $=\frac{d}{dx}\frac{P(\varnothing)}{P(a<X\le b)}=0,\ \ \ x>b$ $conclusion:f(x|A)=\frac{f(x)}{P(A)}$