MPC (Model Predictive Control)란?

Created on March 04, 2025 , last updated on July 01, 2026

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MPC (Model Predictive Control)란?

MPC(Model Predictive Control)는 현재 상태와 예측 모델을 이용하여 미래의 입력을 최적화하는 제어 기법이다.

쉽게 말해, MPC는 다음 과정을 반복하며 최적화를 수행한다:

  1. 미래 시스템 출력을 예측한다.
  2. 예측된 결과를 평가하고 제어 입력을 최적화한다.
  3. 최적화된 입력 중 첫 번째만 실제로 시스템에 적용하고, 다음 시간 스텝에서 다시 최적화를 수행한다.

1. MPC의 핵심 개념

  1. Prediction Model
    • system의 dynamic을 모델링하여 만든다.
    • 일반적으로 선형 모델(LTI, Linear Time-Invariant)이 사용되지만, 경우에 따라 비선형 모델(NLTI, Nonlinear Time-Invariant)사용하기도 한다.
  2. Prediction Horizon(예측 시계열?)
    • 일정한 미래 구간 동안 시스템의 ouput을 예측한다.
    • 예측 구간을 ( N_p​ )로 설정하면, ( t ) 시점에서 ( t+N_p )까지의 시스템 output을 예측하게 된다.
    • 일반적으로 더 긴 예측 구간은 안정성과 성능을 향상시키지만, 계산 부담이 증가한다.
  3. **Optimization(최적화)**
    • 예측된 출력이 원하는 궤적(reference trajectory)에 최대한 가까워지도록 입력을 최적화한다.
    • 제약 조건(입력/출력 제약, 상태 제약 등)을 만족하는 최적의 입력을 계산한다.
  4. Receding Horizon (순환 최적화)
    • 매 시간마다 최적화를 다시 수행하여 최적의 입력 시퀀스를 계산한다.
    • 계산된 입력 중 첫 번째 입력만 적용하고, 다음 시점에 다시 전체 과정을 반복한다.
    • 이를 통해 시스템 상태 변화에 빠르게 대응 가능하다.

2. 수학적 모델링

(1) Continuous Time system modeling

Continuous Time system modeling은 다음과 같다.

\[\begin{aligned} \dot{x}_m &= A_c x_m + B_c u \\ Y &= C_c x_m \end{aligned}\]

이 모델을 실제 구현에 적합하게 이산화(discretization)할 수 있다.

(2) Discrete Time system modeling

Discrete Time system modeling은 다음과 같다:

\[\begin{aligned} x_m(k+1) &= A_d x_m(k) + B_d u(k), \\ Y(k) &= C_d x_m(k) \end{aligned}\]
  • ( x(k) ) : 상태 벡터 (state)
  • ( u(k) ) : 제어 입력 (control input)
  • ( y(k) ) : 출력 벡터 (output)
  • ( A, B, C ) : 시스템 행렬

(3) State변화 유도 과정

\[\begin{aligned} \underbrace{x_m(k+1) - x_m(k)}_{\Delta x_m(k+1)} &= \underbrace{A_d (x_m(k) - x_m(k))}_{A_d \Delta x_m(k)} + \underbrace{B_d (u(k) - u(k-1))}_{B_d \Delta u(k)} \\ \Rightarrow \quad \Delta x_m(k+1) &= A_d \Delta x_m(k) + B_d \Delta u(k) \end{aligned}\]

이 식을 통해 input의 시간에 따른 변화에 따른 state의 변화를 표현할 수 있다..

(3) prediction of state and output

예측 구간은 다음과 같은 파라미터로 구성된다:

  • 예측할 미래 출력 개수(( N_p )): Prediction Horizon
  • 예측할 미래 입력 개수(( N_c )): Control Horizon (보통 ( N_p > N_c ))

Control 정보 ( (\Delta u_k) )와

\[\Delta u(k), \Delta u(k+1), \dots, \Delta u(k+N_c-1)\]

future state를

\[x(k_i+1 | k_i), \quad x(k_i+1 | k_i), \quad x(k_i+2 | k_i), \quad \dots, \quad x(k_i+N_p | k_i)\]

discrete time의 system modeling 수식을 사용하여, 아래 수식과 같이 표현이 가능하다.

\[\begin{aligned} x(k_i + 1 | k_i) &= A x(k_i) + B \Delta u(k_i) \\ x(k_i + 2 | k_i) &= A x(k_i + 1) + B \Delta u(k_i + 1) \end{aligned}\]

이를 점화식으로 일반화할 수 있다.

\[\begin{aligned} x(k_i + 2 | k_i) &= A x(k_i + 1) + B \Delta u(k_i + 1) \\ &= A^2 x(k_i) + A B \Delta u(k_i) + B \Delta u(k_i + 1) \\ x(k_i + 3 | k_i) &= A x(k_i + 2) + B \Delta u(k_i + 2) \\ \downarrow \\ x(k_i + N_p | k_i) &= A^{N_p} x(k_i) + A^{N_p-1} B \Delta u(k_i) + A^{N_p-2} B \Delta u(k_i + 1) \\ &\quad + \dots + A^{N_p - N_c} B \Delta u(k_i + N_c - 1) \end{aligned}\]

prediction of output은 ( Y(k) = C_d x_m(k) ) 에 위에 구해진 prediction of state를 넣으면 쉽게 구할 수 있다.

시간에 따른 prediction of output의 표현이다.

\[\begin{aligned} y(k_i+1 | k_i) &= C A x(k_i) + C B \Delta u(k_i) \\ y(k_i+2 | k_i) &= C A x(k_i+1) + C B \Delta u(k_i+1) \\ &= C A^2 x(k_i) + C A B \Delta u(k_i) + C B \Delta u(k_i+1) \\ y(k_i+3 | k_i) &= C A x(k_i+2) + C B \Delta u(k_i+2) \\ \end{aligned}\]

이를 일반화하면 다음과 같이 표현된다.

\[y(k_i + N_p | k_i) = C A^{N_p} x(k_i) + C A^{N_p-1} B \Delta u(k_i) + C A^{N_p-2} B \Delta u(k_i+1) + \dots + C A^{N_p - N_c} B \Delta u(k_i + N_c - 1)\]

최종적으로 출력 예측은 다음과 같은 행렬 형태로 표현 가능하다.

\[\mathbf{Y} = \begin{bmatrix} y(k_i+1 | k_i) \\ y(k_i+2 | k_i) \\ \vdots \\ y(k_i+N_p | k_i) \end{bmatrix} = \mathbf{F} x(k_i) + \mathbf{\Phi} \mathbf{\Delta U}\]

여기서 행렬 와 는 각각 다음과 같이 정의된다.

( F ) 정의

\[\mathbf{F} = \begin{bmatrix} C A \\ C A^2 \\ \vdots \\ C A^{N_p} \end{bmatrix}\]

( \Phi ) 정의

\[\mathbf{\Phi} = \begin{bmatrix} C B & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ C A B & C B & 0 & \cdots & 0 \\ C A^2 B & C A B & C B & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C A^{N_p-1} B & C A^{N_p-2} B & C A^{N_p-3} B & \cdots & C B \end{bmatrix}\]