[MPC책 공부 - 1] MPC Constraints

Created on March 12, 2025 , last updated on July 01, 2026

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해당 내용은 Model Predictive Control: Theory, Computation, and Design 책을 바탕으로 공부한 내용이다. 제약 조건에는 크게 두 가지 유형이 있다.

입력 제약 (Input Constraints)

입력 제약은 물리적 한계를 나타내며, 예를 들어 다음과 같은 형태로 정의할 수 있다. \(u(k) \in U, \quad k \in \mathbb{I}^{+}\) 이는 입력 ( u(k) )가 특정한 제약 집합 ( U ) 안에 있어야 한다는 뜻이다. 예를 들면, 로봇의 모터 토크 등에서 특정 한계를 넘지 못하도록 설정할 수 있다. 이러한 물리적 한계를 초과하려 하면, 실제 시스템이 강제로 제한을 가한다. 즉, 컨트롤러가 이를 준수하지 않더라도 실제 시스템이 물리적 한계로 인해 어쩔 수 없이 제약을 따르게 된다.

상태 및 출력 제약 (State and Output Constraints)

상태 및 출력 제약은 바람직한 조건이지만, 항상 충족될 수 있는 것은 아니다. \(\begin{align} x(k) \in X, \quad k \in \mathbb{I}^{+} \\ (x(k), u(k)) \in Z, \quad k \in \mathbb{I}^{+} \end{align}\) 이는 상태 ( x(k) )와 입력 ( u(k) )가 특정한 제한된 범위 안에 있어야 한다는 뜻이다. 예를 들어, 온도, 속도, 압력 등 시스템이 특정 범위를 벗어나지 않도록 설계하는 경우가 이에 해당한다. 하지만 외부 교란(disturbance) 이나 시스템의 비선형성 등의 이유로 항상 상태 제약을 만족시키는 것이 불가능할 수도 있다. 따라서 MPC에서는 입력 제약은 강한(Hard) 제약으로 두고, 상태 및 출력 제약은 부드러운(Soft) 제약으로 설정하는 경우가 많다. 로보틱스에서는 로봇 관절의 속도, 토크, 가속도 등의 물리적 한계를 고려해야 하며, 특정 작업을 수행할 때 환경적인 제약(예: 충돌 회피, 작업 공간 내 유지)도 존재한다. 하지만 이러한 제약을 항상 엄격하게 유지하면 최적화 문제의 해가 존재하지 않을 가능성이 있다. 따라서 Slack Variable을 추가하여 특정 상태 제약을 완화할 수 있도록 한다.

Hard Constraints (강한 제약)

로봇의 관절 속도, 토크 및 가속도에는 물리적인 한계가 있으며, 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

Hard Constraints vs. Soft Constraints

  • Hard Constraints: 반드시 지켜야 하는 제약 (예: 모터 토크 한계, 전압 범위)
  • Soft Constraints: 가능한 한 지켜야 하지만, 필요하면 일정 부분 초과할 수도 있는 제약 (예: 안전한 범위를 초과할 경우 패널티를 부여하는 방식)

MPC에서는 이를 고려하여 최적화 문제를 설정한다. 즉, 입력 제약은 엄격하게 지키도록 하고, 상태 또는 출력 제약이 지켜지지 않을 경우 이를 완화할 수 있도록 설계하는 것이 일반적이다.

Soft Constraints (부드러운 제약 조건)과 Slack Variable

MPC에서 Soft Constraints는 상태 또는 출력 제약이 불가능할 경우 이를 완화할 수 있도록 하는 방법이다. 이를 위해 Slack Variable ( \epsilon(k) )을 도입한다. 로보틱스에서는 로봇 관절의 속도, 토크, 가속도 등의 물리적 한계를 고려해야 하며, 특정 작업을 수행할 때 환경적인 제약(예: 충돌 회피, 작업 공간 내 유지)도 존재한다. 하지만 이러한 제약을 항상 엄격하게 유지하면 최적화 문제의 해가 존재하지 않을 가능성이 있다. 따라서 Slack Variable을 추가하여 특정 상태 제약을 완화할 수 있도록 한다.

Hard Constraints (강한 제약)

일반적인 상태 제약은 다음과 같이 표현된다. \(F x(k) \leq f, \quad k \in \mathbb{I}^{+}\) 그러나 외란(disturbance)이나 시스템 모델링 오차 등으로 인해 항상 이 조건을 만족시키기 어려울 수 있다.

Slack Variable ( \epsilon(k) )을 이용한 Soft Constraints

Slack Variable ( \epsilon(k) )을 추가하면 상태 제약이 다음과 같이 완화된다. \(F x(k) \leq f + \epsilon(k), \quad k \in \mathbb{I}^{+}\) 여기서 ( \epsilon(k) \geq 0 ) 조건을 추가하여, 필요할 때만 제약을 완화할 수 있도록 한다. 즉, 원래는 반드시 ( F x(k) \leq f )를 만족해야 했지만, ( \epsilon(k) )을 추가하면 일정 부분 제약을 초과할 수 있게 된다. 하지만, ( \epsilon(k) )이 너무 커지는 것은 바람직하지 않으므로, 이를 최소화하기 위해 Stage Cost에 패널티를 추가한다.

비용 함수 (Cost Function)

Slack Variable을 포함한 비용 함수는 다음과 같이 정의된다. \(J = \sum_{k=0}^{N-1} \left( x(k)^T Q x(k) + u(k)^T R u(k) + \rho |\epsilon(k)|^2 \right)\) 여기서:

  • ( Q ) : 상태 ( x(k) )에 대한 가중치 행렬
  • ( R ) : 입력 ( u(k) )에 대한 가중치 행렬
  • ( \rho ) : Slack Variable ( \epsilon(k) )에 대한 가중치 (값이 클수록 제약 초과를 최소화하려는 경향)

즉, ( \rho ) 값이 클수록 ( \epsilon(k) )를 최소화하도록 유도되며, 상태 제약을 최대한 유지하려는 성향을 갖는다.

Soft Constraints를 포함한 상태-입력 혼합 제약 (Mixed State-Input Constraints)

Slack Variable을 추가한 상태 제약을 행렬 형태로 변환하면 다음과 같다. \(F_e x(k) + E_e u_e(k) \leq e_e, \quad k \geq 0\) 이를 행렬 형태로 정의하면, \(\begin{align} F_e = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ F & 0 \end{bmatrix}, \quad E_e = \begin{bmatrix} E & 0 \\ 0 & I \\ 0 & I \end{bmatrix}, \quad u_e = \begin{bmatrix} u \\ \epsilon \end{bmatrix}, \quad e_e = \begin{bmatrix} e_0 \\ f \end{bmatrix} \end{align}\) 이러한 변환을 통해, 원래의 상태 제약이 Slack Variable을 포함한 형태로 변형되며, 이를 통해 최적화 문제의 해가 존재할 확률이 높아진다.

Soft Constraints의 장점

  • 문제를 풀수 있는 시스템화 시킨다: Hard Constraints만을 적용하면 optimal solution이 존재하지 않을 수도 있다. 하지만 Soft Constraints를 사용하면 Slack Variable을 통해 제약을 완화할 수 있어 문제를 항상 해결 가능하게 만든다.
  • 실제 시스템의 물리적 한계를 반영: 실제 시스템에서는 모든 상태 제약을 완벽히 유지하는 것이 어려울 수 있다. Soft Constraints는 이를 고려하여 약간의 초과를 허용하면서도 제어 성능을 유지할 수 있도록 한다.