[MPC책 공부] 2장도입, 표기법 정리

시스템 모델: 비선형 이산시간 시스템

이제 다루는 시스템은 이산시간 비선형 시스템이며, 다음과 같이 정의된다:

\[\begin{aligned} x^+ = f(x, u) \end{aligned}\]

• $x \in \mathbb{R}^n$: 현재 상태
• $u$: 현재 입력
• $x^+$: 다음 상태 (successor state)
• $f$: 연속적인 비선형 함수이며, $f(0, 0) = 0$인 경우 원점이 평형점이다.

이는 연속시간 모델 $\dot{x} = f(x, u)$의 이산화된 형태이며, MPC 설계의 기본 시스템 모델로 사용된다.

표기법 정리 (Notation)

• 정수 집합:
  • $\mathbb{I}$: 전체 정수 집합
  • $\mathbb{I}_{\ge 0} = {0, 1, 2, \dots}$
  • $\mathbb{I}_{m:n} = {m, m+1, \dots, n}$
• event $(x, i)$: 시간 $i$에서 상태가 $x$인 사건
• 입력 시퀀스:
  • $u = (u(0), u(1), u(2), \dots)$: 무한 시퀀스
  • $u_{0:N-1} = (u(0), u(1), \dots, u(N-1))$: 길이 $N$인 유한 시퀀스
• 상태 시퀀스:
  • $x = (x(0), x(1), x(2), \dots)$
  • $x_{0:N} = (x(0), x(1), \dots, x(N))$
• 입력 벡터 $u$

\[\begin{aligned} u = \begin{bmatrix} u(0) \\ u(1) \\ \vdots \\ u(N-1) \end{bmatrix} \end{aligned}\]

• 상태 벡터 $x$

\[\begin{aligned} x = \begin{bmatrix} x(0) \\ x(1) \\ \vdots \\ x(N) \end{bmatrix} \end{aligned}\]

system state의 정의

비선형 시스템에서, 주어진 초기 상태와 입력 시퀀스에 따라 시간 $k$에서의 state를 다음과 같이 정의한다.

1. 초기 state가 시간 $0$에 $x$이고, 제어 입력 시퀀스가 $u = (u(0), u(1), \dots)$일 때, 시간 $k$에서의 상태는 다음과 같이 표기한다.

\[\phi(k, x, u)\]

1. 초기 state가 시간 $i$에 $x$이고, 제어 입력 시퀀스가 $u$일 때, 시간 $k$에서의 상태는 다음과 같이 표기한다.

\[\phi(k, (x, i), u)\]

시불변 (Time Invariant System)

이 시스템은 시불변(time-invariant) 이므로, 아래가 성립한다:

\[\phi(k, (x, i), u) = \phi(k - i, x, u)\]

즉, 초기 상태 $x$가 시간 $i$에 주어졌을 때, 시간 $k$에서의 상태는 처음부터 $x$에서 시작한 경우의 $(k - i)$ 단계 후 상태와 동일하다.

위 특성은 Time Invariant system의 특징이다.