[MPC책 공부 - 12] 2장 - 시스템 연속성, 제약, 비용 함수
책에서는 이 장 전체에서 다음과 같은 가정을 한다.
We assume in this chapter that the state ( x ) is known.
해당 말이 의미하는 바는 다음과 같다.
- 제어 입력을 계산할 때, 현재 시스템의 정확한 상태 ( x(k) )를 완전히 알고 있다고 가정한다.
- 이 가정 하에서는 관측 오차나 센서 노이즈가 없으며, 제어기는 실제 상태를 완전히 관측 가능한 상황이다.
- 이 가정은 MPC의 기본 구조와 안정성 분석을 단순화하기 위한 것으로, 실제 시스템에서는 상태를 estimate해야 하며, 이때는 observer나 filter가 필요하다.
-> 해당 내용은 3장에서 본격적으로 다루지만, simple한 mpc부터 차근차근 공부해보겠다.
Proposition) 시스템 해의 연속성
함수 ( f(x, u) )가 연속이면, 각 정수 ( k )에 대해 시스템 해 ( \phi(k, x, u) )는 ( x )와 ( u )에 대해 연속 함수이다.
즉:
\[\begin{aligned} f \text{ continuous} \quad \Rightarrow \quad \phi(k, x, u) \text{ continuous} \end{aligned}\]이는 다음과 같은 의미를 가진다:
- 초기 상태 ( x )나 제어 입력 시퀀스 ( u )가 아주 조금만 변해도, 상태 ( x(k) )는 급격하게 튀지 않고 부드럽게 변화한다.
- 실제 제어기 구현에서 필수적인 수치적 안정성과 연속적인 반응을 보장하는 기초이다.
시스템 제약 조건
시스템에는 아래와 같은 형태의 hard constraint이 존재할 수 있다.
\[\begin{aligned} (x(k), u(k)) \in Z \quad \text{for all } k \in \mathbb{I}_{\ge 0} \end{aligned}\]여기서 ZZ는 일반적으로 다음과 같은 다면체(polyhedral) 집합으로 표현된다.
\[Z = { (x, u) \mid Fx + Eu \le e }\]이는 시스템 상태와 입력이 항상 이 영역 Z 안에 있어야 한다는 의미다.
예시: 제어 입력 속도 제한
입력에 대해 다음과 같은 속도 제한(velocity constraint)이 주어질 수 있다:
\[|u(k) - u(k-1)| \le c\]이 제약을 상태 ( z )를 도입해서 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다:
\[\begin{aligned} z^+ &= u \\ z(k) &= u(k-1) \\ |u(k) - z(k)| &\le c \end{aligned}\]즉, 새로운 상태 ( z )를 통해 속도 제약도 일반적인 상태-입력 제약 ( (x, u) \in Z ) 형태로 표현 가능하다.
상태-입력 제약 ( z )의 구성
( (x, u) \in Z )는 다음 두 가지 의미를 포함한다.
입력 제약 (state-dependent control constraint)
어떤 상태 ( x )에서 가능한 입력 ( u )는 그 상태에 따라 달라진다:
\[u \in U(x) := { u \in \mathbb{R}^m \mid (x, u) \in Z }\]상태에 의존적인 제약이라 해서, state-dependent control constraints라고 한다.
상태 제약
어떤 상태 ( x )가 유효한 상태인지 여부는, 그 상태에서 사용할 수 있는 입력이 존재하는지로 결정된다.
\[x \in X := { x \in \mathbb{R}^n \mid U(x) \ne \emptyset }\]비용 함수 정의
비용 함수는 다음과 같이 구성된다:
\[\begin{aligned} V_N(x, u) := \sum_{k=0}^{N-1} \ell(x(k), u(k)) + V_f(x(N)) \end{aligned}\]현재 상태가 ( x )이고, 현재 시간이 ( i )라면, 최적제어 문제는 시간 ( i )에서 시간 ( N+1 )까지의 구간에 대해 비용을 최소화하는 문제이다.
- ( \ell(x, u) ): stage cost (단계별 비용)
- ( V_f(x(N)) ): terminal cost (종료 상태 비용)
추가 notation
- optimal control sequence:
- state sequence:
- 초기 상태 조건 : ( x^0(i; (x, i)) = x )
MPC에서는 위의 최적 입력 시퀀스 중 첫 번째 입력만을 실제 시스템에 적용한다
\[u^0(i) = u^0(i; (x, i))\]Time Invariant
- 시스템, 비용 함수 ( \ell(x, u) ), 종료 비용 ( V_f(x) ) 모두 시간에 무관하므로, 어떤 시간 ( i )에서 시작하든, 문제는 항상 ( P_N(x, 0) )과 동일하다.
즉, 다음이 성립한다.
\[\begin{aligned} \mathbf{u}^0(x, i) &= \mathbf{u}^0(x, 0) \\ \mathbf{x}^0(x, i) &= \mathbf{x}^0(x, 0) \end{aligned}\]