가끔 수식이 기억이 안날때가 있어, 찾아보고 싶어 정리한다.

Denavit–Hartenberg(DH) 파라미터

로봇 Manipulator를 구성하고 동작시키기 위해 가장 먼저 해야 할 일은 각 관절의 위치와 자세를 정확히 정의하는 것이다. 이때 사용하는 대표적인 방법이 Denavit–Hartenberg(DH) 파라미터다.

회전 행렬 Rotation Matrix

로봇의 링크가 회전할 때, 우리는 한 좌표계에서 다른 좌표계로 벡터를 변환해야 한다. 이때 사용하는 것이 회전 행렬(Rotation Matrix)이다.

3차원에서 축 기준 회전 행렬은 다음과 같다.

• ( x )축 회전 ( \theta )

\[R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}\]

• ( y )축 회전 ( \theta )

\[R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix}\]

• ( z )축 회전 ( \theta )

\[R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Homogeneous Transformation Matrix

좌표계는 회전과 이동(translation)의 조합이다. 이를 함께 표현하기 위해 사용하는 것이 Homogeneous Transformation Matrix다.

예를 들어, ( R )이 회전 행렬이고 ( d )가 위치 벡터일 때 전체 변환 행렬은

\[T = \begin{bmatrix} R & d \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

3D 공간의 예

\[T = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} & d_x \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} & d_y \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} & d_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

표준 DH 파라미터(Standard DH Parameter)

DH 파라미터는 각 링크 간의 관계를 네 가지 값으로 정의한다.

• ( \theta_i ): ( x_{i-1} )축을 기준으로 ( z_{i-1} )축에서 ( z_i )축까지의 회전
• ( d_i ): ( z_{i-1} )축을 따라 ( x_{i-1} )에서 ( x_i )까지의 거리
• ( a_i ): ( x_{i} )축을 따라 ( z_{i-1} )에서 ( z_i )까지의 거리
• ( \alpha_i ): ( x_i )축을 기준으로 ( z_{i-1} )에서 ( z_i )까지의 회전

이들을 사용해 각 링크 간 변환 행렬을 다음과 같이 구성할 수 있다.

\[T^{i+1}_{t-1} = \begin{bmatrix} \cos\theta_i & -\sin\theta_i \cos\alpha_i & \sin\theta_i \sin\alpha_i & a_i \cos\theta_i \\ \sin\theta_i & \cos\theta_i \cos\alpha_i & -\cos\theta_i \sin\alpha_i & a_i \sin\theta_i \\ 0 & \sin\alpha_i & \cos\alpha_i & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

이 변환 행렬을 연속적으로 곱하면 로봇의 Base에서 End-effector까지의 전체 포즈를 계산할 수 있다.

---

Modified DH 파라미터

Modified DH 파라미터는 변환 순서를 조금 다르게 구성해 계산을 단순화하려는 목적에서 등장했다. 차이점은 다음과 같다

Modified DH parameter