mpc 발전의 역사

1970년대

model predictive heurist control(MPHC)의 개발

impulse resoponse functions(IRFs)로 설명되는 process model
receding horizon
input, ouput의 제약
반복적으로 결정되는 control

DMC의 개발

MPHC와 DMC의 차이점

DMC는 optimal control variable을 계산한다.
linear process로 제한

위 두 연구로 MPC가 빠르게 확신될 수 있는 토대가 되었다. 초기에는 이 방식들이 산업에서 활용될 수 있게 controller 설계를 단순화하고 포괄하는 이론적인 논문이 많이 나왔다.

1980년대

1980년대 연구에서는 mpc의 robusness와 stability로 넘어가게되었다. infinite horizon 즉, 고정된 moving window를 가진 linear estimation문제들은 계산적으로 유리한 QP문제로 정의되었다.

그 이후

2000년대 이후는 computing power가 강력해짐에 따라, 연구는 large problems와 long caclulation time 문제를 빠르게 푸는 쪽으로 바뀌었다.

Feasibility, Stavility and Robustness

MPC 구별의 대한 기준

open-loop optimization문제의 유연성(최적화 문제에 대한것)
close-loop controller의 안정성(외란의 대한것)
불확실성에 대한 강인함(모델의 정확성에 대한 것)

mpc를 개발할때 Stavility and Robustness가 중요한데,

stability를 분석할때는 모델의 불확실성을 배제한 perfect model를 가정한다.

robustness를 검토할때는 singal noise가 매우 중요한 요소가 된다.

최적제어는 제어동작을 향상시키지만, robustness examination을 복잡하게 만든다고 한다. 이는 최적화 과정이 model 불확실성에 대한 margine을 줄여 robustness를 약화시킬수 있음을 의미하여, 이는 trade-off가 있을 수 있다고 한다.

Feasibility

input에 대한 제약은 무조건적으로 지켜져야하는데, 이와 대조적으로 output에 대한 제약은 종종 무조건 지켜져야할 필요는 없는 경우가 있다. 이때 slack varibale $ \xi $를 사용해서 constraints를 완화해서 최적화문제를 풀수 있다.

모든 상용 MPC 시스템은 실현가능성을 slack variable을 통해 hard ouput constraints를 완화해 사용한다.

input constraints를 slack variable를 사용하는 constraints문제와 분리하여 생각하였다. 이를 reference governor라고 부른다.

이방식은 input에 constraint에 대한 제약 위반을 desired trajectory를 미리조정하여 방지하였다.(관련 자료 :Model-based predictive force control in milling: determination of reference trajectory)

Stability

BIBO stability란? bounded input이 주어졌을때 output이 bounded ouput을 유지한다. -> 입력이 너무 커지지 않으면, 출력역이 비정상적으로 커지지 않는다.
Asymptotic stability란? system의 transient behavior이 시간에 지남에 따라 결국 평형점에 도달한다. -> 외부 교란을 받더라도 시스템이 결국 안정상태로 도달한다.
Globally Asymptotically Stable란? 시스템이 어떤 초기 상태에 시작하더라도 항상 평형점에 수렴한다. 즉, 특점범위에서만 수렴하는 것이 아니다.

Globally Asymptotically Stable를 보장하기 위해서는 LTI discrete system이라는 가정하에, input hard constraints output soft constraints라는 제약조건을 만족하고, 최적화 문제가 infinite predction 및 control horizon이어야한다. inifinite prediction and control horizon이라는 경우 결국 LQG(Linear quadratic gaussian)최적제어 문제로 귀결되는데, 모든 eigen values들이 unit disk 즉 단위원안에 있어야함을 의미한다.

finitite prediction horizion은 분명히 극단적으로 제약이 있지만, 현실에서는 컴퓨팅 제약으로 인해서, MPC는 일반적으로 finitie horizond르 사용하는데, asymptotic stability를 보장하기 위해서, MPC는 monotonically 감소해야한다.

MPC(Model Predictive Control)는 유한한 예측 구간 $N$ 동안만 cost를 최소화한다. 그러나 단순히 horizon을 잘라버리면 asymptotic stability(점근 안정성)을 보장하기 어렵다. 실제 시스템에서는 안정성을 보장하기 위해, 비용 함수 $J$를 Lyapunov 함수처럼 단조 감소(monotonically decreasing) 시키는 접근이 필요하다.

이를 위해 도입되는 개념이 terminal cost이다. $J = \sum_{i=0}^{N-1} \ell(x(k+i), u(k+i)) + V_f(x(k+N))$ 여기서 $V_f(x(k+N))$는 Lyapunov 함수처럼 작동하는 최종 비용이다. 이 항을 추가함으로써, 유한 horizon 문제라도 마치 무한 horizon 문제처럼 안정성을 근사할 수 있다.

그러나, terminal cost는 무한 horzion을 근사할때, $J(k+N) \approx J(\infty)$ 처럼 동작하여, 추가적인 제약이 필요로 하다. 추가적인 제약은 또다시 최적화의 feasibility에 대한 문제를 야기할수 있으므로, terminal region constraint 방식이 사용된다. $x(k+N) \in \mathcal{X}_f$

즉, 반드시 원점(0)에 도달할 필요는 없고, 대신 안정성이 보장되는 안전한 영역 $\mathcal{X}_f$ 안에 들어오기만 하면 된다. 이렇게 하면 최적화의 유연성을 유지하면서도 안정성을 확보할 수 있다.

Stability

모델 불확실성 다루는 방식

불확실성(uncertainty)은 여러 방식으로 표현될 수 있다.

Uncertainty intervals: 모델의 파라미터(예: obejct function의 계수)가 일정 범위 내에서 변한다고 가정.
Structured feedback: feed back loop 안에 구조적으로 불확실성을 넣어 분석.
Set of models: 여러 개의 모델을 두고, 그중 worst case을 고려. ($L_\infty$-norm 최소화)$L_2$ vs. $L_\infty$-norm

MPC cost function을 다르게 정의하면 견고성을 설계에 반영할 수 있다.

표준 MPC는 $L_2$-norm (least squares)을 사용:→ 전체 오차를 평균적으로 줄이는 데 최적화.
\[|x|_2 = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}\]
Robust MPC는 $L_\infty$-norm을 사용할 수 있음:→ 최대 오차를 줄이는 데 집중. 따라서 과격한 제어 대신 더 보수적이고 부드러운 제어를 유도.
\[|x|_\infty = \max{x_1, \dots, x_n}\]
단점: 너무 보수적이어서 시스템의 성능(plant potential)을 충분히 활용하지 못함

결국 robustness는 performance와 trade-off관계를 의미한다.

최근 mpc의 연구

ILC를 mpc에 도입 iterative learning control은 open-loop control로 한번 돌리고 파라미터 조정하고 다시 돌리고 즉, 이전 실행에 수집된 정보를 활용하여, 다음 실행을 개선한다는 방식이다. 최근 mpc에 대한 연구는 ILC에 제약조건을 도입한다.그러나 receding horizon이빠 빠져있어 ILC 최적화로 보인다.
MPC + data based learning 이전 경로에서 K-nearest알고리즘을 사용하여 LQR기반 새경로를 추출하는데 사용하는 방식을 쓴다.이 아디이어는 차후 iterative, data-driven adjustment of trajectories to the application of MPC로 확장된다.
정교한 dynamic system modeling

model의 불확실성을 modeling하기 위해서, weighted linear bayesian regression을 적용
가능한 경로의 safety를 보장하기 위해서, gaussian process적용