[MPC책 공부 - 6] Finite Horizon문제의 한계와 Infitie Horzion의 장점
Finite Horizon문제의 한계와 Infitie Horzion의 장점
- 유한한 시간 구간(Finite horizon)의 최적 제어 문제(LQ)는 항상 안정성(Stability)을 보장하지 않는다.
- 칼만(Kalman, 1960)이 지적한 바와 같이, 유한 구간에서 최적 해를 구하더라도 폐루프 시스템이 불안정해질 가능성이 있다.
예제
다음과 같은 선형 시스템을 고려하자.
\[\begin{align} x(k+1) &= A x(k) + B u(k) \\ y(k) &= C x(k) \end{align}\]주어진 예제 시스템의 행렬은 다음과 같다.
\[\begin{align} A &= \begin{bmatrix} 1.25 & 0.75 \\ 0.75 & 1.25 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix}-\frac{2}{3} & 1\end{bmatrix} \end{align}\]이 시스템은 의도적으로 불안정한 zero (unstable zero) 를 가지고 있다. 구체적으로 시스템 전달함수 ( G(z) )의 zero가 ( z=3/2 ) (즉, 불안정한 zero)을 갖도록 설계하였다.
이 시스템에 대해서 다음의 LQ 제어 문제를 설정했다.
- 비용함수의 가중치 ( Q, R ) 및 시간 ( N ) 을 다음과 같이 설정하여 unstable behavior를 유도하도록 했다.
이 조건에서 Riccati iteration을 계산한 후 얻어지는 최적 입력 피드백 제어기
\[\begin{align} u(k) = K(k) x(k),\quad K(k) = -(B^T \Pi(k+1) B + R)^{-1} B^T \Pi(k+1) A \end{align}\]이때, 유한한 시간(예시에서는 ( N=5 ))을 설정하면, 결과적으로 얻어지는 폐루프 시스템의 eigenvalue는 다음과 같았다.
\[\begin{aligned} \text{eig}(A + B K(0)) &= \{1.307, \; 0.001\} \end{aligned}\]즉, 시스템이 Unstable한(eigenvalue가 1보다 큰 값 1.307을 갖는) 상태가 된다. 이로 인해 유한 시간 LQ 최적제어 문제를 풀었다고 해서 반드시 안정성을 보장하지 않는다는 것을 명확히 확인할 수 있다.
NN을 증가시킨 결과 (무한 수평선 문제의 중요성)
위의 예시에서 제어기의 horizon ( N ) 을 더 늘려서 ( N=7 )로 하면 Riccati equation의 결과는
\[\begin{aligned} \text{eig}(A + B K(0)) = \{0.989,\;0.001\} \end{aligned}\]가 되어서, 시스템이 안정화된다 (모든 고유값의 크기가 1 미만으로 떨어진다).
즉, 더 긴 시간구간을 고려할수록 시스템이 안정화되는 경향을 보이는데, 이는 무한 수평선 (Infinite horizon) 최적제어 문제를 다루어야 하는 이유가 된다.
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무한 수평선 문제로의 일반화 (Infinite Horizon LQ problem)
따라서 안정성 보장을 위해 다음과 같이 무한 수평선(infinite horizon)을 고려한 문제가 등장한다.
무한한 시간 영역에서의 cost function는 다음과 같다.
\[\begin{align} V(x(0), u) = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left[ x(k)^T Q x(k) + u(k)^T R u(k)\right] \end{align}\]위 문제에서 입력 시퀀스 ( u(k) )에 의해 시스템 상태 ( x(k) )는 무한히 진행한다.
이러한 Infinite Horizon 문제를 다룰 때, 안정성 (stability)과 같은 중요한 특성이 보장된다.
그러나 Infinite Horizon 문제또한 단점이 존재한다.
시스템 자체가 controllable 해야한다. 만약 ( B=0, A=I )와 같은 시스템을 생각해보자. 이것은 controllable하지 않는다. stabilization을 확인하기 위해서, controllability, stabilizability observability detectability가 필요로 한다. 차후 다룰 예정